抛物线的特殊解法

前言:和上一篇文章类似的,抛物线也有特殊解法,原来不打算写出来的,因为不仅非常简单,而且貌似已经被广泛应用了,但老师又没有教我,我还是写写分享一下吧。
说明:对于在抛物线 上的一点A,它的坐标表示为 ,其他点同理,举例就一般用2p=1(避免特殊性,通常也便于计算)或2p=4(有时候便于计算)和点P(1,0),另外为了对称性,题型基本上是和椭圆差不多。
一、
结论一:直线AB的直线方程为:
证明:
带入直线方程得:

得证
同时,由上面的推导过程可以得知:
结论二:
带入y=0至结论一,得:
结论三:
(非常简单吧。如果已经人尽皆知了,那下面的文章就是废物,可以关闭了)
二、
例一:已知抛物线: ,P(1,2),A、B均为抛物线上的动点,且满足 ,求证直线AB过定点。
证明:由结论二得:

同时AB:
对比系数得:
即恒过定点(-7,2),得证。

例题二:已知抛物线: ,P(2,0),Q(1,0),弦AB过点P,且直线AQ、BQ与抛物线分别交于另外两点C、D,求证:直线CD过定点
证明:由结论三得:

即直线CD恒过定点 ,得证
还可以进一步推出:
另外,只保留了前面题型中的(1)是因为好像读者对过定点的更有疑问,这个是圆锥曲线都有的性质,和射影几何有关。这题在抛物线里很简单,就不展开了,直接进入一般情况。
例三(特殊情况下的蝴蝶定理):已知抛物线: ,P(1,0),弦AB、CD均过点P,连接AC、BD,作过p且垂直于x轴的直线并交AC、BD与M、N,求证
PM
=
PN

由结论一得:

带入x=1得:

根据对称性,易得

所以
所以
PM
=
PN
,得证
例四:(接例三),证明直线AC与BD的交点恒在一条直线上。
证明,由结论一得:

得证
例五(斜率等差定理):已知抛物线: ,P(1,0),Q(-1,t),弦AB过点P,求证:
证明:由结论三得:
则:

得证
三、
上面的都是和原来的文章差不多的题型,还简单了不少,所以简略了很多,现在看看抛物线特有的题目:
已知抛物线 ,A(1,1),B(-1,0),M为抛物线上一动点,且AM与BM分别叫抛物线与C、D两点,求证:直线CD过定点

证明:设
由结论一得:

分别代入A(1,1)和B(-1,0)得

由结论一得

即恒过(1,4)点,得证。
的确是很漂亮的证明过程,但我还是不了解这道题的本质,看上去毫无干系的这几个点肯定有什么我不知道的深层联系。
知乎上哪位大佬如果知道这道题的几何本质,请在评论区留言。

后记:本来我就是因为对抛物线的特殊解法来的灵感与研究椭圆的,然后搞出了一些成果就发了出来,至于抛物线这篇就当椭圆那一篇的附赠吧。
这是一个可以在考试里更快得出答案,还不超纲的方法,而且还有很多很奇妙的应用,篇幅有限就留给读者自己探索和发现吧。

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