每日一题 导数压轴题(三)

题目1. 已知函数
⑴设两曲线y=f(x)与y=g(x)有公共点,且在公共点处的切线相同,若a>0,试建立b 关于a的函数关系式,并求b的最大值;
⑵若b∈[0,2],h(x)=f(x)+g(x)-(2a-b)x在(0,4)上为单调函数,求a的取值范围。
分析:(1)两函数有公共点,并且切线一样,可设公共点坐标,然后利用函数值相等与该点导数一样,得到一个方程组。进而通过消元可以得到a与b的关系;
(2)这里是给出了单调性,那么就会有 或 两种情况出现,之后利用分离参数的办法求出a的范围
解:(1)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点( )出的切线相同。
由 ,由题意可知 即
解得 或 (舍去),
对 求导得:

令b'(a)>0,即 解得: ;
令b'(a)<0,即 解得:

(2)
①当h'(x)≤0时,即 ∴
∵b∈[0,2],只需 ∵x∈(0,4) ∴a不存在
②当h'(x)≥0时,即 ∴
∵b∈[0,2],只需 ∴ 在(0,4)上恒成立
又∵x(2-x)在(0,4)上的最大值为1
∴ 解得: 或
综上所述,a的取值范围为: 或
小结:联立方程组的时候,最重要的目标是消参数,进行代换。

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